Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m，当m为何值时，直线与椭圆有公共点

Answer 1

解：由题意，
将Y=X+M代入4X²+Y²=1，得：
4X²+X²+2XM+M²=1
即5X²+2MX+M²-1=0
根据题意知有公共点
Δ=4M²-4*5(M²-1)≥0
解得-√5/2≤M≤√5/2

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Answer 2

椭圆方程和直线方程联立，得：5x^2+2mx+m^2-1=0
直线与椭圆有公共点，即△≥0 即4m^2-5≤0 m∈[-根号5/2，根号5/2]

Answer 3

解法<1>：设椭圆与直线有公共点（x,y），则方程组 4x²+y²=1 ① y=x+m ② 有实根
将②带人①，得 4x²+(x+m)²=1 即 5x²+2mx+m²-1=0 ③ 须有实根 即 (2m)²-4*5*(m²-1)≥0
得 m²≤5/4
<2>：直线斜率为1 椭圆与其上一点(p,q)切线方程为 4px+qy=1 即 y=-(4p/q)x+1/q ①
使①斜率为1,解得 p=(1/20)^(1/2) , q=-(16/20)^(1/2) ①或 p=-(1/20)^(1/2) , q=(16/20)^(1/2)②
而y=x+m在直线①与②之间 故 -(16/20)^(1/2) ≤ m ≤ (16/20)^(1/2)