Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=5,n≥2时,an+1=5an-6an-1

证明数列{an+1-3an}为等比数列
求数列{an}的通项公式
试比较an与2n²+1的大小

Answer 1

1.
证：
n≥2时，
a(n+1)=5an-6a(n-1)
a(n+1)-3an=2an-6a(n-1)=2[an-3a(n-1)]
[a(n+1)-3an]/[an-3a(n-1)]=2，为定值。
a2-3a1=5-3=2
数列{a(n+1)-3an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
2.
解：
a(n+1)-3an=2ⁿ
a(n+1)+2^(n+1)=3an +3×2ⁿ=3(an +2ⁿ)
[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2ⁿ)=3，为定值。
a1 +2=1+2=3
数列{an +2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列。
an+2ⁿ=3ⁿ
an=3ⁿ-2ⁿ
n=1时，a1=3-2=1；n=2时，a2=9-4=5，均满足。
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-2ⁿ。
3.
n=1时， 2×1²+1=3 a1<3
n=2时， 2×2²+1=9 a2<9
n=3时，a3=27-8=19 2×3²+1=19 a3=19
n≥4时，a4=81-16=65 2×4²+1=33<65
假设当n=k(k∈N+，且k≥4)时，ak>2k²+1，即3^k -2^k>2k²+1，则当n=k+1时，
a(k+1)=3^(k+1)-2^(k+1)
=2(3^k -2^k)+3^k
>2(2k²+1)+3^k
k≥4 3^k≥81
a(k+1)>4k²+83
(4k²+83)-[2(k+1)²+1]=2k²-4k+80=2(k-1)²+78>0
a(k+1)>2(k+1)²+1
k为不小于4的任意实数，因此对于任意不小于4的实数n，a(n+1)恒>2(n+1)²+1
综上，得
n=1，n=2时，an<2n²+1；
n=3时，an=2n²+1；
n≥4时，an>2n²+1。

Answer 2

用特征方程来处理
先做第二问
an+1=5an-6an-1
设X^2-5X+6=0
X1=2 X2=3
设an=A*2^n+B*3^n
又∵a1=1,a2=5
∴得an=-2^n+3^n

∴an+1-3an=-2^(n+1)+3^(n+1)-3（-2^n+3^n)=2^(n+2)
∴{an+1-3an}为等比数列

令g(n)=-2^n+3^n-(2n2+1)
∵g(n)恒小于0
∴an小于2n2+1