Question

已知数列{an}满足a1=a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2)

已知数列{an}满足a1=a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2)。求数列{an}的通项公式

Answer 1

已知数列{an}满足
a(1) = a(2) = 5 ①
a(n+1) = a(n) + 6a(n-1) (n≥2)。 ②
求数列{an}的通项公式

方法1：常规方法------构造法------目标是构造 a(n+1) - Aa(n) = K * [a(n) - Aa(n-1)] 形式
a(n+1) - 3a(n) = -2a(n) + 6a(n-1) = -2[a(n) - 3a(n-1)]
可见，a(n+1) - 3a(n) 这个整体 是 公比K为 -2 的等比数列，过程如下：
a(n+1) - 3a(n) = -2[a(n) - 3a(n-1)] = (-2)²[a(n-1) - 3a(n-2)] = (-2)^(n-1) * [a(2) - 3a(1)] = ....
= (-2)^(n-1) * (-10) = (-2)^(n-1) * (-2 * 5) = 5 (-2)^n ※

即： a(n+1) = 3a(n) + 5 (-2)^n
继续构造： a(n+1) = 3a(n) + 3 (-2)^n - (-2)^(n+1)
a(n+1) + (-2)^(n+1) = 3a(n) + 3 (-2)^n = 3 [a(n) + (-2)^n] 可见公比K为 3 的等比数列
= 3² [a(n-1) + (-2)^(n-1)] = ........=
=3^(n-1) * [a(2) + (-2)^(2)] = 3^n* [a(1) + (-2)] = 3^(n+1)
即：a(n+1) + (-2)^(n+1) = 3^(n+1)
a(n+1) = 3^(n+1) - (-2)^(n+1)
a(n) = 3^n - (-2)^n

方法2；核武器
根据②式：a(n+1) - a(n) - 6a(n-1) = 0
得到对应的特征方程为： λ² - λ + 6 = (λ + 2) (λ - 3) = 0， 两个根为： λ = -2； λ = 3
所以通项公式具有形式： a(n) = A(-2)^n + B 3^n 的形式， -----------这一步最关键
其中A、B为常数，可以根据①确定 -----------辅助性工作
即当n = 1 时，a(1) = A(-2)^n + B 3^n = -2A + 3B = 5 ③
当n = 2 时，a(2) = A(-2)^n + B 3^n = 4A + 9B = 5 ④
最后求得： A = -1 B = 1
所以；a(n) = - (-2)^n + 3^n

Answer 2

【1】∵由题设可得：A(n+1)+2An=3[An+2A(n-1)].∴A(n+1)+2An=5×3^n.n=1,2,3,,,,【2】∵A(n+1)+2An=5×3^n.∴A(n+1)-3^(n+1)=-2[An-3^n].∴An-3^n=2×(-2)^(n-1).∴通项An=[3^n]+2×(-2)^(n-1). n=1,2,3,....

Answer 3

等式两边减去3an就会做了