Question

已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且BD=BC,AC⊥BD,求证AD+BC=2CO

Answer 1

如图，延长 AD 至 E ，使 DE = BC，过 C 作 CF 垂直 DE 于 F。易证 BCED 为菱形。

因为 AD 平行于 BC，所以 角 CDE = 角 BCD

因为 BD = BC，所以 角 BCD = 角 BDC

推出 角 BDC = 角 CDE，进而易证明 三角形 OCD 全等于 三角形 FCD。

则 OC = CF

因为 角 CAE = 45度，且 CA = BD = CE，所以 三角形 CAE 为等腰直角三角形

所以 AE = 2 CF

又 AE = AD + DE，CF = OC，所以 AD + BC = 2 OC

Answer 2

证明：如图，过D作DE∥AC，交BC的延长线于E。

则四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC，CE=AD，∴BE=AD+BC。

∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC, ∴ABCD是等腰梯形。∴AC=BD=BC=DE。

又∵AC⊥BD, ∴DE⊥DB，∴ΔDBE是等腰直角三角形。∠DBC=45º，

∴BE=√2·DE；同样ΔOBC是等腰直角三角形, ∴BC=√2·OC。

而DE=BC，∴BE=√2·DE=√2·√2·OC=2OC。

即AD+BC=2CO。

Answer 3

在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC。所以这是等腰梯形。所以AC=BD，又AC⊥BD，设AO=x.CO=y.则AC=BC=x y。根据勾股定理，BC=根号2y，AD=根号2x。所以x y=根号2y。所以x=(根号2-1)y。所以AD BC=根号2x 根号2y。即AD BC=(2-根号2)y 根号2y=2y=2CO。所以AD BC=2CO