Question

概率统计几何分布

甲乙两人做游戏，先后抛硬币，若有一方抛到正面就算赢，游戏结束。若甲先抛，1. 求甲赢的概率。2. 计算游戏结束时，双方共抛硬币次数的期望

Answer 1

(1)
设甲获胜的概率为P，那么乙获胜的概率为1-P。

若第一次甲抛出了反面，概率为1/2，那么游戏进入第二回合，由乙进行抛硬币，此时乙获胜的概率是先抛硬币者的获胜概率，也就是P。所以我们有
P*1/2=1-P
所以P=2/3
也就是说甲获胜的概率为2/3
(2)
游戏一回合结束的概率为 1/2 (正)
游戏两回合结束的概率为 1/4 (反正)
游戏三回合结束的概率为 1/8 (反反正)
以此类推
游戏n回合结束的概率为 1/(2^n) (反反。。。反正）
所以游戏结束回合数的期望值为
1*1/2+2*1/(2^2)+...+n*1/(2^n)+....
令Tn=1*1/2+2*1/(2^2)+...+n*1/(2^n)，则
Tn/2=1*1/(2^2)+2*1/(2^3)+...+(n-1)*1/(2^n)+n*1/(2^(n+1))
所以Tn-Tn/2=1*1/2+1/(2^2)+...+1/(2^n)-n*1/(2^(n+1))=1-1/(2^n)-n*1/(2^(n+1))
所以Tn=2-1/(2^(n-1))-n/(2^n)
当n→∞，Tn=2
所以戏结束回合数的期望值为2