Question

（2011•哈尔滨）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．

（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为 DE=2CEDE=2CE；
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长
我要第三题答案。。。。。。

Answer 1

解：(3)过点B作BN⊥CD,过点F作FN⊥DB，交DB延长线于点N。
设BF=a。由于∠FBN=180°-∠DBC=60°，易知BN=0.5a，FN=√3/2*a。则DN=BD+BN=2a+
0.5a=2.5a。由勾股定理得：DF=√(DN²+FN²)=a√7。在△BDF与△CBA中，BF=CA=a,∠DBC=∠ACB,BD=BC,所以△BDF≌△CBA(SAS).所以DF=BA=a√7，∠BDF=∠CBA，所以△BGF∽△DBF,所以BF/DF=BG/BD=FG/BF,得BF²=DF*FG=a√7*FG=a²，FG=√7/7*a，DG=DF-GF=6/7*√7*a,BG=BD*BF/DF=2a*a/a√7=2/7*√7*a。由于△DKG≌△DBG,所以∠HDG=∠BDF=∠CBA,所以△DGH∽△BGF,则BG/DG=FG/GH,所以GH=DG*FG/BG=3/7*√7*a。所以BH=BG+GH=5/7*√7*a=10，则a=2√7，则BC=2a=4√7.在Rt△CBN中，CN=2√21，CE=
1/2*CN(第二问应已证出)=√21.