Question

设a，b，c均小于0，则a+1/b，b+1/c，c+1/a

A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2

要详细过程，不要复制的

Answer 1

从选项入手
AB很容易举反例，排除
对于CD，应用基本不等式
(-a)+(-1/a)>=2
所以a+(1/a)<=-2
所以（a+1/b）+（b+1/c）+（c+1/a）<=-6
如果a+1/b，b+1/c，c+1/a都大于-2,则三项之和>-6，矛盾
所以三项中至少有一项不大于-2
选C

Answer 2

a+1/b=(ab+1)/b<-2 ab+1>-2b (a+2)b+1>0 a+2<-1/b ①
b+1/c=(bc+1)/c<-2 bc+1>-2c (b+2)c+1>0 b+2<-1/c ②
c+1/a=(ac+1)/a<-2 ac+1>-2a (c+2)a+1>0 c+2<-1/a ③
假设①成立 则a=-3
③式中 c<-5/3 设c=4/3
②式中 b<-5/4 设b=-1
①式中 -3<-1成立
选择D

Answer 3

∵a<0，b<0，c<0

∴1/a<0，1/b<0，1/c<0

∴-a>0，-b>0，-c>0，-1/a>0，-1/b>0，-1/c>0

∵-a+(-1/a)≥2√[(-a)(-1/a)]

∴-a+(-1/a)≥2

∴a+1/a≤-2

同理可证：b+1/b≤-2，c+1/c≤-2

∴a+1/b+b+1/c+c+1/a=a+b+c+1/a+1/b+1/c=a+1/a+b+1/b+c+1/c≤-6

可以使用排除答案的方法，如果三个都小于-2，那么不等式仍然成立，则可以排除B和D，再令一个大于-2，其他两个的和也小于-2，那么不等式仍然成立，则可以排除A，所以剩余C是正确的。