Question

x平方+3y平方+2x=9,求x+y最大值

Answer 1

令b=x+y，则b是直线y=-x+b的截距

根据数形结合，要使直线截距b最大

则直线y=-x+b与椭圆(x+1)^2/10+y^2/(10/3)=1在第一象限相切

椭圆方程：y=(1/3)*√(9-x^2-2x)

y'=(-1/3)*(x+1)/√(9-x^2-2x)=-1

x+1=3√(9-x^2-2x)

x^2+2x+1=81-9x^2-18x

10x^2+20x-80=0

x^2+2x-8=0

(x+4)(x-2)=0

x1=2，x2=-4（舍去）

y=(1/3)*√(9-4-4)=1/3

即切点为(2,1/3)，代入直线方程

b=2+1/3=7/3

所以x+y的最大值为7/3

Answer 2

x²十3y²十2x=9
设x十y=k
y=k-x，代入:
x²十3(k-x)²十2x=9
4x²十(2-6k)x十(3k²-9)=0
Δ=(2-6k)²-4×4(3k²-9)≥0
(1-3k)²-4(3k²-9)≥0
1-6k十9k²-12k²十36≥0
-3k²-6k十37≥0
3k²十6k-37≤0
k≤[-6十√(6²十4×3×37)]/6
=[-3十√(9十111)]/3
=[-3十√120]/3
=[-3十2√30]/3