Question

关于全微分里证明可微的高数题求解!!

设f(x,y)在点(0,0)的领域有定义,且fx(0,0)=fy(0,0)=0,证明:f(x，y)在点(0，0)可微的充分必要条件是当(x，y)趋近于(0，0)时，[f(x，y)-f(0，0)]/根号下(x^2+y^2)的极限值为0.

Answer 1

要证明函数在(0,0)点可微的充要条件就是证明f(x,y)-f(0,0)=Ax+By+o(x^2+y^2)^(1/2)，即证明 lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/(x^2+y^2)^(1/2)=0，实际上只要找到满足条件的A.B存在即可。因此可令y=0，则x趋于0时，lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/(x^2+y^2)^(1/2)=lim[f(x,0)-f(0,0)-Ax]/x的绝对值= fx(0,0)-A=0，所以A=0，同理B=0，故充要条件为lim[f(x,y)-f(0,0)]/(x^2+y^2)^(1/2)=0