Question

如图,△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于E,过O作FG⊥AB,交AC于F,交AB于H,交⊙O于G.

如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．（1）求证：OF•DE=OE•2OH；（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer 1

（1）∵OH⊥AB于H，
∴AH=BH，
又∵OB=OD，
∴OH∥AD，AD=2OH
∴△ADE∽△FOE，
∴AD/OF=DE/OE，
即OF•DE=OE•2OH

（2）⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，,
∴OE=4，OF=6
∴DE=OD-OE=8，
由AD/OF=DE/OE得AD=12=1/2BD，
由此可得∠BOH=60°
S阴影=S扇形O-BG-S△OBH
=24π-18√3

Answer 2

（1）证明：∵∠DEA=∠FEO，∠DAE=∠EFO,∴△ADE∽△EFO,∴AD：OF=DE:OE,即OF·DE=OE·AD,又∵OH是直角△ADB的中位线，∴AD=2OH,∴OF·DE=OE·2OH
(2)由题意可知OD=6,OE=2，OF=3，DE=4，有(1)知OH=3，OB=6，∴∠BOH=60°S阴影=S扇形BOG-S△BOH