Question

已知函数f( x)={x,当x<1 log2(x-1),当x>1,若y=f[f(x)+k]恰有三个不同零点,则K的取值范围

求详细解答过程，不要单纯的答案，谢谢。

Answer 1

k=1.
当f(x)+k<1时，y=f(x)+k=0，所以f(x)=-k；
当f(x)+k>1时，y=log2 [f(x)+k-1]=0，所以f(x)=-k+2.
因此f(x)=-k与f(x)=-k+2必有一个方程有一解，另一方程有两解.
由-k+2>-k知及f(x)的图象知-k+2=1，所以k=1
谢谢采纳

追问

这种解法对吗？感觉不对，是函数有零点，并不是函数就等于零，并且该函数Y是个四段函数，不是只有二段。

追答

考虑f[x]=0，只有两种可能啊，要不x=1要不x=2；
于是f[f(x)+k]=0，也只有两种可能要不f(x)+k=1，要不f(x)+k=2

追问

f[x]=0，只有两种可能啊，要不x=1要不x=2；不对，是X=0,或X=2;

另外，原题是X小于等于1时，F(X)=X,特此更正。

追答

写错了是0或2.。不好意思
考虑f[x]=0，只有两种可能啊，要不x=0要不x=2；
于是f[f(x)+k]=0，也只有两种可能要不f(x)+k=0，要不f(x)+k=2

追问

f[x]只有可能有2个0点，而Y理论上存在四个0点，就看K的取值了，K不同的取值，Y有不同的0点，K=1时，可能只有2个0点，这与题设不符。

追答

k1时f[x]=k有1解。
k3时f[x]=k-2有1解。
所以1<k<3.
前面是别人的答案错的