Question

已知函数f(x)=ax^2-e^x 若f（x）有两个极值点x1和x2，(x1<x2)，求实数a的取值范围。

已知函数f(x)=ax^2-e^x 若f（x）有两个极值点x1和x2，(x1<x2)，求实数a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=2ax-e^x
∵f（x）有两个极值点x1和x2，(x1<x2)
∴f'(x)有2个不同的零点
令f'(x)=0 ，得2ax=e^x
x=0不是方程的解
∴x≠0
∴2a=e^x/x
设g(x)=e^x/x ,
则需有2个不同的x值对应同一个g(x)值
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
x<0时，g'(x)<0,g(x)递减，且g(x)<0
0<x<1时，g'(x)<0，g(x)递减，g(x)∈(e,+∞)
x>1时，g'(x)>0,g(x)递增，g(x)∈(e,+∞)
∴x在(0,+∞)上的最小值为g(1)=e
∴2a>e,
∴实数a的取值范围是a>e/2

Answer 2

求导,