Question

高中立体几何二面角2道（急）

1.已知边长为阿德正方形ABCD外有一点P，使PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小
2.二面角α-EF-β的大小为45°，A为棱EF上的一点，AG在平面α内，∠GAE=45°，求直线AG与平面β所成角的大小
第一小题有打错，应该为：
已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，使PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小

Answer 1

1

∵PA⊥平面ABCD

∴BC⊥PA

∵ABCD是正方形

∴BC⊥AB

∴BC⊥平面PAB

∵BC在平面PBC内

∴平面PBC⊥平面PAB

∴二面角A-PB-C的大小为90º

 

做BE⊥PC,垂足为E,连接DE

∵PA⊥平面ABCD,AB=AD

∴PB=PD

又BC=CD,PA=PA

∴ΔPBC≌ΔPBD

∴DE⊥PC

∴∠BED是B-PC-D的平面角

∵AB=PA=BC=a

∴PB=√2a,PC=√3a

∴BE=DE=PB*BC/PC=√2a×a/√3a=√6/3a

 又BD=√2a

根据余弦定理，

cos∠BED=(2BE²-PC²)/(2BE²)

               =(2×6/9-2)/(2×6/9)=-1/2

∴∠BED=120º

 

二面角α-EF-β的大小为45°，A为棱EF上的一点，AG在平面α内，∠GAE=45°，

求直线AG与平面β所成角的大小

 2

过G做GH⊥β,垂足为H,连接AH

∴∠GAH是直线AG与平面β所成角

做HK⊥EF,垂足为k,连接GK

根据三垂线定理，GK⊥EF

∴∠GKH是二面角α-EF-β的平面角

∴∠GKH=45°

 

设AK=a,

∵∠GAE=45°,∴GK=a,AG=√2a

∵∠GKH=45°∴GH=√2/2*a

∴sin∠GAH=GH/AG=1/2

∴∠GAH=30º

即直线AG与平面β所成角为30º

Answer 2

第一题

做底面是正方形，PA垂直底面的四棱锥。
PA=AB=a→PB=√2a=AC
PA=a,AC=√2a→PC=√3a
在三角形PBC中，PB=√2a,PC=√3a,BC=a→三角形为直角三角形。
→BC垂直PB
取PB中点M，连接AM,则AM垂直PB。又BC垂直PB,且BC平行AD，则角PAD为A-PB-C平面角。
PA垂直面，PA垂直AD,又AD垂直AB…则AD垂直面PAB，二面角等于九十度。

过B做PC垂线BN，由边的长度可以算出BN=((√6)/3)a。再求出PD=√2a…可以知道三角形PBC全等三角形PDC。所以DN垂直PC，二面角B-PC-D平面角为角BND。连接BD,且BD=√2a。
由余弦定理，cosBND=(BN^2+DN^2-BD^2)/2BN×DN=-1/2。
所以角BND等于120度。即二面角大小

Answer 3