Question

求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解

Answer 1

求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解

解：先求齐次方程y'+y=0的通解：dy/dx=-y；分离变量得dy/y=-dx；积分之，得lny=-x+lnC₁；
即有y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x)；把C₁换成x的函数u，得y=ue^(-x)........(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-x)-ue^(-x).........(2)
将(1)和(2)代入原式得(du/dx)e^(-x)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-2x)
于是得(du/dx)e^(-x)=e^(-2x)，即有du/dx=e^(-x)，du=e^(-x)dx，
故u=∫e^(-x)dx=-∫e^(-x)d(-x)=-e^(-x)+C............(3)
将(3)代入(1)式即得通解：y=[-e^(-x)+C]e^(-x)=-e^(-2x)+Ce^(-x)
【这种解法谓之“参数变易法“或”常数变易法“，过程有点罗嗦，没有楼上david940498的解法简捷，
但方法比较固定，对于y'+p(x)y=q(x)型的线性方程普遍适用，尤其适用于对初学者。】

Answer 2

e^x(y'+y)=e^(-x)
(ye^x)'=e^(-x)
两边积分：ye^x=-e^(-x)+C
y=-e^(-2x)+Ce^(-x)

Answer 3

y(x) = ln((1/2)*exp(2*x)+C)

方程写成 exp(y)dy=exp(2x)dx
于是 d exp(y)=(1/2)* d exp(2x)
于是 exp(y) == (1/2)*exp(2x)+C
于是得到通解 y(x) = ln((1/2)*exp(2*x)+C)赞同0|评论(1)