Question

在三角形ABC中，a*cos(B+C)+b*cos(A+C)=c*cos(A+B),试判断三角形ABC的形状

Answer 1

cos(B+C)=-cosA，cos(A+C)=-cosB，cos(A+B)=-cosC

原式化为：-acosA-bcosB=-ccosC
即：acosA+bcosB=ccosC
由余弦定理：
a(b²+c²-a²)/2bc+b(a²+c²-b²)/2ac=c(a²+b²-c²)/2ab
a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)=c²(a²+b²-c²)
2a²b²-a⁴-b⁴=-c⁴
a⁴-2a²b²+b⁴=c⁴
(a²-b²)²=c⁴
a²-b²=c²或a²-b²=-c²
即：a²=b²+c²或b²=a²+c²
所以，是直角三角形

ps：貌似会和差化积的话，就可以全部化成角做。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

∵acos（B＋C）＋bcos（A＋C）＝ccos（A＋B），
∴－acosA－bcosB＝－ccosC，
∴acosA＋bcosB＝ccosC。
结合正弦定理，得：sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，
∴sin2A＋sin2B＝2sinCcosC，
∴2sin（A＋B）cos（A－B）＝2sinCcosC，
∴sinCcos（A－B）＝sinCcosC，
在△ABC中，显然有：sinC＞0，
∴cos（A－B）＝cosC，∴A－B＝C，或A－B＝－C，
∴2A＝A＋B＋C＝180°，∴A＝90°；　或2B＝A＋B＋C＝180°，∴B＝90°。
∴△ABC是以A或B为直角的Rt△。