Question

已知椭圆

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)与椭圆x²/20+y²/19=1有相同焦点，且椭圆c过点（1,3/2）若过点P（0，m)的.直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且AP向量=3PB向量，求实数m的取值范围。

Answer 1

x²/20+y²/19=1
焦点（1,0）
C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)与椭圆x²/20+y²/19=1有相同焦点
a²-b²=1
（1,3/2）代入x²/a²+y²/b²=1
得（4a^2-1)(a^2-4)=0
a2=4 a^2=1/4<1舍去
b^2=3
椭圆C:x²/4+y²/3=1
当直线l斜率不存在时 过点P（0，m) 即y轴
m=+/-√3/2
直线l斜率存在时 过点P
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P（0，m）
向量AP=向量3PB
(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),x1=-3x2
设y=kx+m
与x²/4+y²/3=1联立
（3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
x1+x2=-2x2=-8km/(3+4k^2)
x2=4km/(3+4k^2) 1式
x1x2=-3x2^2=(4m^2-12)/(3+4k^2) 2式
1代入2式
k^2=(9-3m^2)/(16m^2-12)>=0
(9-3m^2)/(16m^2-12)>=0
3/4<m^2<=3
-√3<=m<-√3/2或√3/2<m<=√3
综上-√3<=m<=-√3/2或√3/2<=m<=√3
m的取值范围[-√3,-√3/2]∪[√3/2,√3]

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