Question

已知向量m=(sinx,-1),n=(根号3cosx,-1/2),函数f(x)=向量m^2+向量mn-2

（1）求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，b^2=ac,角B为锐角，且f(B)=1,求1/tanA+1/tanC的值

Answer 1

怎么没人做？我来吧：
1
f(x)=|m|^2+m·n-2=sinx^2+1+sqrt(3)sinxcosx+1/2-2=(1-cos2x)/2+(sqrt(3)/2)sin2x-1/2
=(sqrt(3)/2)sin2x-(1/2)cos2x=sin(2x-π/6)，故f(x)的最大值是1，此时：2x-π/6=2kπ+π/2
即：x=kπ+π/3，k为整数，写成集合：{x|x=kπ+π/3，k为整数}
2
f(B)=sin(2B-π/6)=1，而B为锐角，即：0<2B<π，故：-π/6<2B-π/6<5π/6，故：
2B-π/6=π/2，故：B=π/3，由余弦定理：b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac，即：
a^2+c^2-2ac=(a-c)^2=0，故：a=c，即：A=C=(π-π/3)/2=π/3，即△ABC为正三角形
故：1/tanA+1/tanC=2/sqrt(3)=2sqrt(3)/3