Question

已知a，b，c属于R，函数f（x)=ax^3+bx^2+cx满足f（1）=0

设f（x)的导函数为f'（x),满足f'（0）*f'(1)>0
求c／a的取值范围

Answer 1

f(1)=a+b+c=0,
b=-a-c
f'(x)=3ax²+2bx+c
f'(0)·f'(1)>0
即c(3a+2b+c)>0
c(3a-2a-2c+c)>0
c(a-c)>0
同除以c²，得
a/c -1>0
即a/c>1
所以　c/a∈(0,1)

Answer 2

f(x)=ax³＋bx²＋cx
则：
f(1)=a＋b＋c=0，得：b=－a－c
f'(x)=3ax²＋2bx＋c
则：
f'(0)=c、f'(1)=3a＋2b＋c
f'(0)×f'(1)=c(3a＋2b＋c)>0
c(a－c)<0
c²－ac>0
两边除以a²，得：
(c/a)²－(c/a)>0
得：
c/a>1或c/a<0

Answer 3

把f（1）=0代入得
f（1）=a+b+c=0
得b=-a-c
f′（x）=3ax²+2bx+c
f′（1）×f′（0）
=（3a+2b+c）c
=（3a-2a-2c+c）c
=（a-c）c＞0
（1）若a-c＞0
则c＞0
解得c/a＜1
（2）若a-c＜0
则c＜0
c/a＜1
综上所述
c/a＜1

Answer 4

f(1)=a+b+c=0 b=-a-c
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(0)=c
f'(1)=3a+2b+c=a-c
f'(0)*f'(1)=c*(a-c)>0
1.c>0且a-c>0 即c/a<1
2.c<0且a-c<0 即c/a<1
所以c/a<1

Answer 5

（0,1/2）