Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b属于R)

要使f(x)在（0，2）上单调递增，求a的取值范围
当x属于（0，1】时，y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为P，且0≤P≤π/4，求a的取值范围。

Answer 1

(1)
f'(x)=-3x²+2ax
f(x)在（0，2）上单调递增

那么当0<x<2时，f'（x)=-3x²+2ax≥0恒成立
即2ax≥3x² ,a≥3/2x恒成立
需a≥(3/2x)max
∵x∈(0,2) ,3/2x∈(0,3)
∴a的取值范围是a≥3
(2)
倾斜角为P，且0≤P≤π/4

那么切线斜率k∈[0,1]
即当x∈(0,1]时，f'(x)的值域为[0,1]

f'(x)=-3x²+2ax=-3（x-a/3)²+a²/3
当 a/3≤0时，f'(x)在(0,1]上递减
∴f'(x)∈[2a-3,0)
不合题意
当0<a/3≤1/2时，即0<a≤3/2时，
f(x)min=f(1)=2a-3,f(x)max=f(a/3)=a²/3
∴2a-3=0 ,a²/3=1
二者不同时成立

当1/2≤a/3≤1即3/2≤a≤3时，
f(x)min=f(0)=0
f(x)max=f(a/3)=a²/3
a²/3=1,a=√3符合题意

当a/3>1即a>3时，
f(x)max=f(1)=2a-3
f(x)min=f(0)=0
2a-3=1的a=2,符合题意

综上，a的取值范围是{√3,2}

Answer 2

（1）f'(x)在（0，2）上大于0即可。

（2）求导数，列方程，解方程。

Answer 3

转化为恒成立即可