Question

设函数f（x）=x³-x²-x+2 若x属于-【1，2】时-3≯af（x）+b≯3，求a-b的最大值

x属于【-1,2】 在线等！！！

Answer 1

解：
f(x)=x³-x²-x+2，
f'(x)=3x²-2x-1
f'(x)=(3x+1)(x-1)
1、令：f'(x)＞0，即：(3x+1)(x-1)＞0
有：3x+1＞0、x-1＞0……………………(1)
或：3x+1＜0、x-1＜0……………………(2)
由(1)得：x＞1
由(2)得：x＜-1/3
即：x∈(-∞，-1/3)和x∈(1，∞)时，f(x)是单调增函数
2、令：f'(x)＜0，即：(3x+1)(x-1)＜0
有：3x+1＞0、x-1＜0……………………(3)
或：3x+1＜0、x-1＞0……………………(4)
由(3)得：-1/3＜x＜1
由(4)得：x＜-1/3和x＞1，矛盾，舍去。
综合以上，有：
x∈(-∞，-1/3)和x∈(1，∞)时，f(x)是单调增函数
x∈(-1/3，1)时，f(x)是单调减函数。
由已知：x∈[-1，2]
有：x∈[-1，-1/3)和x∈(1，2]时，f(x)是单调增函数；x∈(-1/3，1)时，f(x)是单调减函数。
x=-1/3时，f(x)取得极大值，极大值为：f(-1/3)=(-1/3)³-(-1/3)²-(-1/3)+2=59/27
x=1时，f(x)取得极小值，极小值为：f(1)=(1)³-(1)²-1+2=1
再考虑定义域端点的函数值：f(-1)=(-1)³-(-1)²-(-1)+2=1，f(2)=(2)³-(2)²-2+2=4
可见，在x∈[-1，2]，f(x)max=f(2)=4；f(x)min=f(1)=1
已知：-3≯af(x)+b≯3
即：-3≤af(x)+b≤3
有：af(x)max+b≤3…………………………(5)
或：-3≤af(x)min+b…………………………(6)
由(5)有：4a+b≤3，得：a≤(3-b)/4
由(6)有：a+b≥-3，得：b≥-a-3
a-b≤(3-b)/4-(-a-3)=[(3-b)+4(a+3)]/4=(4a-3b+15)/4=(4a+b-4b+15)/4≤(9-2b)/2

追问

谢了 不过我老师现在讲了 用线性规划 几步就可以解决了 不过我还是要谢谢你！

追答

不客气。
随着本领的增加、技艺的提升，很多以前的难题都不难了。