Question

ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分角ABC交AE于点M,经过B,M两点的园O交于点G，交

ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分角ABC交AE于点M,经过B,M两点的园O交于点G，交AB于点F,FB恰好为园O的直径，求AE与园O的相切；当BC=4，cosC=三分之一时，求园O的半径

Answer 1

∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE=CE=1/2BC=2，
在RTΔAEC中，CE/AC=cosC=1/3，∴AC=6，
∴AE=√(AC^2-CE^2)=4√2
∵BF是直径，∴∠BMF=∠BEM=90°，
又∠MBF=∠MBE，
∴ΔBMF∽ΔBEM，∴
取BF中点N，连接MN，∵圆与AE相切，∴NM⊥AE，
∴MN=1/2BF，
过N作NP⊥BC于P，则四边形MNPE是矩形，PN=BE，MN=PE，
BP/NB=cos∠ABC=cosC=1/3，设圆N半径 为R，
∴BP=1/3R，∴PE=2-1/3R=MN=R，
∴R=3/2。