Question

已知函数f(x)=x^3+x对任意m∈[-2,2]都有f(mx-2)+f(x)小于0,x的取值范围

Answer 1

f(x)=x^3+x
f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)
f(x)是奇函数
f'(x)=3x^2+1>0
f(x)是增函数
f(mx-2)+f(x)<0
f(mx-2)<-f(x)
f(mx-2)<f(-x)
mx-2<-x
(m+1)x<2
m∈[-2,2]
1.m∈[-2,-1), m+1∈[-1,0), 1/(m+1)<-1, 2/(m+1)<-2
m-->-1, m+1-->0, 1/(m+1)-->-∞
x>2/(m+1)
x∈(-∞,-2)
2.m∈(-1,2], m+1>0, m+1∈(0,3], 1/(m+1)>1/3, 2/(m+1)>2/3
m-->-1, m+1-->0, 1/(m+1)-->+∞
x<2/(m+1)
x∈(2/3,+∞)
3.m=-1
f(-x-2)+f(x)<0, -f(x+2)+f(x)<0, f(x)<f(x+2)
因f(x)是增函数，上式恒成立, x∈R

追问

答案不对

Answer 2

f(-x)=-f(x)所以有f(mx-2)<f(-x)
又因为f'(x)>0所以单调增
所以mx-2<-x
即mx-2+x<0在[-2,2]上恒成立
换参令g(m)=xm+x-2(以m为自变量)
则当x<0时g(-2)<0有-2<x<0
当x>0时g(2)<0有0<x<2/3
当x=0时g（m）=-2恒成立
综上：-2<x<2/3