Question

高中数学题，导数题

f(x)=ax^2/(2x+b)的图像在点(2,f(2))处的切线方程为y=2
1、求a、b的值以及f(x)的单调区间
2、是否存在平行于直线y=(1/2)x且曲线y=f(x)没有公共点的直线？证明结论
3、设数列{an}满足a1=λ(λ ≠1)，若{an}是单调函数，求实数λ的取值范围

Answer 1

1. 切线方程为y=2，说明f(2)=2，又切线方程斜率为0，得f'(2)=0，f'(x)=(2ax^2+2abx)/(2x+b)^2=0，最后解得a=1,b=-2,f(x)=x^2/(2x-2)，f'(x)=(2x^2-4x)/(2x-6)^2，令f'(x)=0，得到x=0,2，所以当x<=0时（x≠1），fx单减，0<x<2时，fx单增，x>=2时，x单减
2. 平行于直线y=1/2x也就是y=1/2x+k，如果与y=fx有公共点也就是说1/2x+k=f（x）是有解的。整理方程后可得到(2k-1)x-2k=0，当k=1/2时，左右两边永远不等所以k=1/2时没有交点，当k≠1/2时，x=2k/(2k-1)是有解的。所以符合题目要求的只有一条直线：y=1/2x+1/2
3.这an和fx有什么关系？
我猜是fx是an的通项公式是吧。
如果是通项的话，根据第一问的结论，当λ<0时，an单调递减，那么a2<a1，也就是λ^2/(2λ-2)<λ，解得λ<2，所以λ<0符合条件；当0<λ<1时，an单调递增，那么a2>a1，也就是λ^2/(2λ-2)>λ，解得λ>2互相矛盾，舍弃；当1<λ<2时，an单调递增，那么a2>a1，也就是λ^2/(2λ-2)>λ，解得λ<2，符合条件；当λ>2时，an单调递减，那么a2<a1，也就是λ^2/(2λ-2)<λ，解得λ>2，符合条件，所以λ<0或者>1

Answer 2

f'(x)=2ax/(2x+b)-2ax^2/(2x+b)^2代入x=2，得f'(x)=0，解方程得b= -2再直接将（2，2）点代入f(X)，得4a/(4+b)=2，再代入b= -2 得a=1 整理f'(x)=2ax(x+b)/(2x+b)^2=x(x-2)/(x-1)^2x大于等于2时，f'(x)大于等于0，单调增x小于2且大于1时，f'(x)小于0，单调减x大于0且小于1时，f'(x)大于等于0，单调增x小于等于0时，f'(x)小于等于0，单调减 最后把这4个整理下就行了x∈（0，1）∪[2,+∞）时，单调增x∈（-∞，0]∪（1,2）时，单调减

Answer 3

1f'(x)=[2ax(2x+b)-2ax^2]/(2x+b)^2
将x=2代入得:(4ab-8a)/b^2=0
f(2)=2=4a/(4+b)
联立解得
a=3,b=2
f'(x)=[(6x(2x+2))-4x^2]/4(x+1)^2=(8x^2-8x)/4(x+1)^2
f'(x)>0得递增区间x>1或x<0
f'(x)<0,得递减区间0<x<1
2.

Answer 4

就我水平，给初中辅导还行，我自己才刚上高一

Answer 5

1.a=3.b=2.在【1,2】上单调递减，其他区间递增；