Question

已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R

(1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时，求其最小值解析式&（a）
(2).对于（1）中的解析式和任意的a>0,b>0证明&'（a+b/2)≤(&’(a)+&'(b))/2≤&'(2ab/a+b)

Answer 1

解：（1）h(x)=√x -alnx ,定义域x>0
令 h'(x)=1/(2√x)- a/x=0，解得x=4a^2 ,即在定义域内，当x=4a^2时，h(x)取得唯一极值点
又h(x)存在最小值，故当x=4a^2时得最小值为h=2a-2aln(2a) ，即解析式为&（a）=2a-2aln(2a)

（2）对于函数&（x）=2x-2xln(2x)求导函数得 &'（x）=2-2ln(2x)-2=-2ln(2x)
故 &'（a+b/2)=-2ln(2a+b) =ln[(2a+b)^(-2)] ,(&’(a)+&'(b))/2=-ln(2a)-ln(2b)=ln(4ab)^(-1),&'(2ab/a+b)=-2ln[4ab/(a+b)]=ln[4ab/(a+b)]^(-2)
又y=lnx为单调递增函数，故题求证的不等式等价于
(2a+b)^(-2)≤(4ab)^(-1)≤[4ab/(a+b)]^(-2)
又a>0,b>0，上式子等价于[4ab/(a+b)]^2≤4ab≤(2a+b)^2
容易证得4ab≤(2a+b)^2
又[4ab/(a+b)]^2/ (4ab)= 4ab/(a+b)^2<=1,{ 容易证得(a+b)^2>=4ab>0}
所以[4ab/(a+b)]^2<=4ab
总上证明了 [4ab/(a+b)]^2≤4ab≤(2a+b)^2 ，原不等式即得证