Question

求函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a(a≠r)的极大值和极小值

Answer 1

解:先求驻点和可能极值点.
函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a的定义域是一切实数,所以没有两端值.
求导:
f'(x)=(ax^3-3x^2+1-3/a)'
=3ax^2-6x
f''(x)=(3ax^2-6x)'
=6ax-6
∵当f'(x)=3ax^2-6x=0时, x=0或 x=2/a 且.(a属于R且a不等0)
∵x=0和 x=2/a,是可能极值点
把x=0、 x=2/a分别带入f''(x)中得：
f''(0)=6ax-6=-6＜0
∴当x=0时函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a有极大值，且极大值=1-3/a
f''(2/a)=6ax-6=12-6=6＞0
∴当x=2/a时函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a有极小值，
且极小值=a(2/a)^3-3(2/a)^2+1-3/a
=8/a^2-12/a^2+1-3/a
=1-4/a^2-3/a
∴函数f(x)的极大值为（1-3/a),极小值为1-4/a^2-3/a