Question

已知f(x)=x^2+ax+b,求证|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,中至少有一个不小于1/2

还没学绝对值不等式的性质

Answer 1

反证法：
假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2
f(1)=1+a+b
f(2)=4+2a+b
f(3)=9+3a+b
|f(1)|<1/2,|f(2)|<1/2,|f(3)|<1/2
所以f(1),f(2),f(3)的范围都是(－1/2，1/2)
所以-2<f(3)+f(1)-2f(2)<2
但是f(3)+f(1)-2f(2)=2与小于2矛盾
所以|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,中至少有一个不小于1/2

Answer 2

反证法:
假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2
f(1)=1+a+b
f(2)=4+2a+b
f(3)=9+3a+b
|f(1)|<1/2,|f(2)|<1/2,|f(3)|<1/2
所以f(1),f(2),f(3)的范围都是(-1/2，1/2)
所以-2<f(3)+f(1)-2f(2)<2
但是f(3)+f(1)-2f(2)=2与小于2矛盾
所以|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,中至少有一个不小于1/2