Question

如图三棱柱ABC~A1B1C1的侧棱AA1垂直底面ABC，∠ABC=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB中点，AC=1，

BC=2，AA1=4。
求，1，当E是棱CC1中点时，求证CF∥平面AEB1。
2，在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是17分之2倍根号17，若存在，求出CE的长，若不存在说明理由。

Answer 1

解：1.设AB1中点为G。连接各点。由AA1⊥底面ABC知此为直三棱柱。
由G为AB1中点，F为AB中点，得GF∥BB1且GF=1/2BB1.
由E为CC1中点，CE∥BB1且CE=1/2CC1=1/2BB1.
故GF∥CE且GF=CE，四边形GFCE为平行四边形。
故GE∥CF，CF∥平面AEB1.

2.以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系。设E（0,2,λ）。
故A（1,0,0），B1（0,0,4），AE=（-1,2,λ），AB1=（-1,0,4）
由AA1垂直底面ABC得AA1⊥AB，BB1⊥AB，由∠ABC=90°知AB⊥BC，
故AB⊥平面BB1C1C，平面BB1E即平面BB1C1C法向量取BA=（1,0,0）.
设平面AEB1的法向量a=（x,y,z），则a·AE=0，a·AB1=0
解得(λ-4)z=-2y，取z=-2，则y=λ-4，x=-8，即a=(-8,λ-4,-2).
由二面角A-EB1-B余弦值2√17/17得
2√17/17=cosθ=|cos<a,BA>|=|a·BA|/|a||BA|=8/√[64+4+(λ-4)²]
解得λ=4±2√51.
验证知均不在CC1上，故不存在。

（楼主是不是打错题了？）

追问

是的，∠ACB=90°

追答

解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建系。
A（1,0,0），B（0,2,0），F（1/2,1,0），B1（0,2,4）.

（1）当E为CC1中点时，E（0,0,2），AE=（-1,0,2），AB1=（-1,2,4），CF=（1/2,1,0）
故CF=1/2AB1-AE，由共面向量定理CF与AB1、AE向量共面，故CF∥平面AEB1.

（2）设E（0,0,λ），由BB1⊥平面ABC得BB1⊥AC，由∠ACB=90°知AC⊥BC，
所以AC⊥平面BB1C1C，平面BB1E即平面BB1C1C法向量取CA=（1,0,0）.
设平面AEB1法向量为a=(x,y,z)，由AB1=(-1,2,4)，AE=(-1,0,λ)有a·AB1=0，a·AE=0.
解得x=λz，y=(λ-4)z/2，取z=2得a=(2λ,λ-4,2).
故2√17/17=|cos|=|a·CA|/|a||CA|=|2λ/√[4λ²+(λ-4)²+4]|，解得λ=1或-5/3（舍去）
故存在这样的E，此时CE=1.

Answer 2

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追问

重点是第二问！

追答

已写明，有何问题哪步没看懂

追问

重点是我写出的第二问，而不是你贴上来的，谢谢

追答

哦，复制错了

这回对了，这是东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2013届高三3月第一次联合模拟考试19题