Question

求高手解答一道高中三角函数求最值难题（原题为物理），谢谢！

求S=10cosα（sinα+√（sin²α+2））的角度α为多少时y最大。
本来是一道物理求子弹发射角度多少时射程最远的题目。原题大概是：子弹发射，不计重力，求角度多少时射程最远，射出点离地面高度h=10m，初速度为v0=10m/s，计发射角为α，不计空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s²。反正我解了之后得出射程S=10cosα（sinα+√（sin²α+2）），但是不知道怎么求α为多少时能够使射程S最大？求高手解答啊！

Answer 1

此题的最佳解法不是直接用三角
而是用包络线法
取发射点为原点建系
知运动时间为 t 时，子弹的坐标为(10 * t * cosα , 10 * t * sinα - 5 t²)
则消去参数 t 得运动轨迹 y= - x² / (20cos²α) + x * tanα
令 z=tanα 为主元 知 1/cos²α = 1 + z² 将 x, y 看作参数
可得关于 z 的一元二次方程 (x²/20) * z² - x * z + y + x²/20=0
此方程有实根的临界条件为 Δ = x² - 4 (x²/20)(y + x²/20)=0
x不等于0时 y = 5 - x²/20 （此方程代表包络线）
故 y = -10 时 x = 10√3 为最大射程
此时 z = √3 /3 即 α=30 度 时 射程S最大 为 10m

追问

我是高一学生，你的解法能不能“低级”点，S=10cosα（sinα+√（sin²α+2））的最大值怎么求？也就是α为多少时S最大怎么求出来？你能求吗？你的答案绝对令我满意

追答

这也是高中用的解法啊 我是高三学生
其实我以前也想过直接用你的式子求 不过那样要将cos换成√(1-sin^2)
并将sin^2 换元为 t 化成两个根式相加 √[1/4 - (t - 1/2)^2] + √[9/4 - (t + 1/2)^2]
然后借助导数或是图形求解最值 相对繁琐