如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于点D、E,连接EB交OD于点F。 求证:OD⊥BE;
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(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90°.
(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可.
解答:(1)证明:连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.(∠1=∠EAB,.∠2=∠ABE)
∵AB=AC,
∴∠1= 1/2∠CAB.
∵∠CBF= 1/2∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:过点C作CG⊥AB于点G.
∵sin∠CBF= √5/5,∠1=∠CBF,
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1= √5,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2 √5,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2√ 5,
∴sin∠2= 2√5/5,cos∠2= √5/5,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3
(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可.
解答:(1)证明:连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.(∠1=∠EAB,.∠2=∠ABE)
∵AB=AC,
∴∠1= 1/2∠CAB.
∵∠CBF= 1/2∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:过点C作CG⊥AB于点G.
∵sin∠CBF= √5/5,∠1=∠CBF,
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1= √5,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2 √5,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2√ 5,
∴sin∠2= 2√5/5,cos∠2= √5/5,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3
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