Question

已知点A（-1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C 相切，直线l2：

直线l2：x=a（a≠-1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；
（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2

Answer 1

解:

（1）由条件知点A（-1，2）为直线l1与抛物线C的切点，∵y′=4x,∴直线l1的斜率k=-4,
∴直线l1的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.
(2)点A的坐标为（-1，2），
由条件可得点B的坐标为（a，2a2），
点D的坐标为（a，-4a-2），
∴|BD|=√［2a2-(-4a-2)］=√2 (a+1)
△ABD的面积S1为
S1=1/2×|2a2-(-4a-2)|×|-1-a|
=|(a+1)3|=-(a+1)3.
(3)直线l1的方程可化为y=-4x-2,
S2=∫(-1,a)［2x2-(-4x-2)］dx=( ∫(-1,a) 2x2+4x+2)dx
=[2(1/3x3+x2+x)] |(-1,a) =-2/3-2(1/3a3+a2+a)
=-2/3a3-2a2-2a-2/3
注:其中 ∫(-1,a)和 |(-1,a)表示积分的上下限分别为-1和a