Question

已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴x=5π/3,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是多少？

对称轴是多少？

Answer 1

因为函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴x=5π/3,
可以得到sin（5π/3）+acos（5π/3）=√（1+a*a）或-√（1+a*a）
即-√3/2+a/2=√（1+a*a）或-√（1+a*a）
两边同时平方得到 a=-√3/3
而函数g(x)=asinx+cosx的最大值是√（1+a*a）
将a代入，得到g(x)=asinx+cosx的最大值是2√3/3

追问

请问它的对称轴是多少呢

追答

g(x)=asinx+cosx=-√3/3sinx+cosx=2√3/3sin（x+2π/3）

令x+2π/3=kπ+π/2 （k是整数）
得到x=kπ-π/6 （k是整数）
所以它的对称轴是x=kπ/-π/6（k是整数）

Answer 2

f(x)=sinx+acosx=[根号下(1+a^2)]sin(x+q) 其中tanq=a/1=a【辅助角公式----求最值非常重要的公式】
所以有x+q=π/2+kπ 【辅助角公式：：asinx+bcosx=[根号（a^2+b^2）]sin(x+q) 其中tanq=b/a】
所以x=π/2+kπ-q=5π/3
所以q=-π/3
所以a=-√3/3
所以g(x)=-√3/3sinx+cosx=2√3/3sin(x+q)
所以g(x)的最大值是√3/3