Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（1，0）和B（0，5），抛物线与坐标轴的另一交点为C，

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（1，0）和B（0，5），抛物线与坐标轴的另一交点为C，（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如果点M是线段BC的动点，且⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标（3）在直线CB上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)把A（1，0）和B（0，5）代入y=-x2+bx+c易求b=-4 c=5
所以y=-x²-4x+5 用顶点坐标公式易求D(-2，9)
(2)∵⊙M与x轴、y轴都相切 ∴点M必在y=-x上
设BC 为y=kx+b过B C两点易求k=1 b=5
∴y=x+5

当x+5=-x时 x=-5/2 y=5/2
∴M的坐标(-5/2,5/2)

(3)存在 分两种情况
1）过D做DP∥OC交BC于P则当y=9时x=4 ∴P(4,9)
2)过O做OP∥DC交BC于PDC解析式为y=3x+15 则OP:y=3x
把y=x+5与y=3x组成方程组求解为x=5/2 y=15/2∴P(5/2,15/2)
∴满足条件的P(4,9)，(5/2,15/2)

Answer 2

（1）将A（1，0）和B（0，5）代入，-1+b+c=0, c=5,b=-4
此抛物线的解析式为y=-x2-4x+5,顶点D的坐标为(-2，9)
2）⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，
故而ME=MF设点M坐标为（x0,y0）x0=-MF,y0=ME=MF
易知C坐标为（-5，0）
BC方程为x-y+5=0代入x0=-MF,y0=ME=MF得MF=2.5
M坐标为（-2.5，2.5）
3）存在P点使四边形PDCO为梯形，分为两种情况1.PD//CO；2.PO//DC
1.得到P坐标为（4，9）
2.得到P坐标为（2.5，7.5）