Question

观察下列勾股数组：a,b,c；3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；...；21，b，c；

①用含n的代数式表达出以上的规律（n≥1），并证明你的结论。
②当a=21时，求b，c的值

Answer 1

当a=2n+1时通过观察知c-b=1，
∵（2n+1）2+b2=c2，
∴c2-b2=（2n+1）2，
（b+c）（c-b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，
又c=b+1，
∴2b+1=（2n+1）2，
∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1

Answer 2

①a=2n+1 b=2n^2+2n c=2n^2+2n+1
证明(2n^2+2n+1)^2-(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1+2n^2+2n)*1=4n^2+4n+1

(2n+1)^2=4n^2+4n+1
即a^2=c^2-b^2
所以他们是是勾股数
②2n+1=21

n=10
所以 b=2n^2+2n=220 c=2n^2+2n+1=221

Answer 3

1 n,(n^2-1)/2,(n^2+1)/2 n取（1,，3,5，。。。n，n+2)
2 b=220,c=221