Question

曲线y=1+根号4-x²与直线y=k(x-2)+5有两个交点,则实数k的取值范围是

Answer 1

y=1+√（4-x²）

满足条件

（y-1)² = 4 -x²

（y-1)² + x² =4

且 y>=1

所以是圆（y-1)² + x² =4， y>=1以上的半圆。

半圆圆心(0,1) 半径=2

直线y=k(x-2)+5 ，标准型是

y-5 = k(x-2)

过定点 （2， 5）

半圆左右端点用方程组

y=1+√（4-x²）

y =1

解得x1=-2, y1=1, x2=2, y2=1

(-2, 1) (2,1)

（2， 5) (-2, 1)所在直线的斜率

k1 = (5-1)/(2-(-2)) = 5/4

第2个k2，直接计算比较复杂，但可以用下图解：

下面计算PM的斜率

△OPQ △OPN全等

∠OPQ= ∠OPN

∠NPQ， ∠MOQ都跟QON互补

∠MOQ= ∠NPQ

∠M =π/2 -∠MOQ

设∠OPQ= ∠OPN = α

∠MOQ= ∠NPQ = 2α

∠M =π/2 -∠MOQ =π/2 -  2α

OQ = 半径 =2

PQ = PN = 5-1 =4

tan α = 2/4 =1/2

tan2α = sin2α/cos2α = 2sinα cosα/(cosα cosα - sinα sinα) = 2tanα/(1- tan² α)

= 2*1/2 / (1 -1/4) = 4/3

k2 = tan M = tan (π/2 - 2α) = cot 2α = 1/tan2α = 3/4

k的取值范围是

k2 < k <=k1

即

3/4 < k <= 5/3