Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+Inx(a∈R)(1)当a=1时，任意x0∈[1,e]使不等式f(x0)≦m,求实数m的取值范围

(2)若在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围。

Answer 1

解:(1)当a=1时,f(x)=0.5x^2+lnx,由题意有:对于一切x∈[1,e]均有f(x)=0.5x^2+lnx≤m故有:m≥(0.5x^2+lnx)max由于y=0.5x^2和y=lnx均为单调增函数,故f(x)也为单调增函数f(x)max=f(e)=0.5e^2+1故有:m≥0.5e^2+1(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方也就是说f(x)<2ax对于一切x∈(1,+∞)恒成立即(a-0.5)x^2+lnx<2ax 对于一切x∈(1,+∞)恒成立(2x-x^2)a>lnx-0.5x^21.1<x<2时2x-x^2>0a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)求导得:g'(x)={[(1/x)-x]/(x^2-2x)}-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2]=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2令g'(x)=0,则有:2-x^2-x+2(x-1)lnx=02(x-1)lnx-(x^2+x-2)=02(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0(x-1)(2lnx-x-2)=0x=1为其驻点,2lnx-x-2=0时lnx=0.5x+1用作图法求出:两者无交点，故原函数只有一个驻点x=1此时为(1,2)上的极大值点:故a≥g(1)=-0.52.当a=2时2x-x^2=0lnx-0.5x^2<0采用作图法:显然成立,故a=2时可行3.当a>2时2x-x^2<0a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)g'(x)<0,g(x)单调减,故a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)=lim(x→+∞){-[lnx/(x^2-2x)]+0.5x/(x-2)}=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]=lim(x→+∞)-{1/[2x(x-1)]}+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]=0+0.5=0.5故a≤0.5综上所述,a∈[-0.5,0.5]∪{2}

Answer 2

不会就答：无解！