Question

已知函数f(x)=1/2 x²++㏑x,﹙1﹚求函数f(x)的单调区。

﹙2﹚求证：当x＞1时，1／2 x²＋㏑x＜2／3 x³

Answer 1

　　(1)∵f(x)=1/2 x²+㏑x的定义域为（0，+∞)
　　f'(x)=x+1/x>0
　　∴f(x)=1/2 x²+㏑x在（0，+∞)上为单调增函数。
　　（2）证：设F(x)=f(x)-2／3 x³=1/2 x²+㏑x-2／3 x³
　　则F(x)的定义域为（0，+∞),
　　F'(x)=x+1/x-2x²
　　=[-(x-1)(2x²+x+1)]/x
　　=[(1-x)(2x²+x+1)]/x
　　令F'(x)=0，解得x=1
　　当x＞1时,有F'(x)<0
　　所以，x=1为F（x)的唯一极大值。就是它在（0，+∞)的最大值 。
　　故F（x)<F(1)=1/2-2/3=-1/6<0
　　=>当x＞1时，1／2 x²＋㏑x＜2／3 x³ 恒成立。

Answer 2

(1)x定义域为x>0 .对f(x)求导得
f'(x)=x+1/x>=2>0
因此f(x)单调递增
单调区间为(0,正无穷)
(2)设F(x)=1／2 x²＋㏑x-2／3 x³
求导得 F'(x)=x+1/x-4x^2 =(-4x^3+x^2+1)/x^2
令g(x)==-4x^3+x^2+1 则g'(x)=-12x^2+2x 令g'(x)=0
得 x1=0,x2=1/6
于是g(x)在（0,1/6)单调增，在（1/6,正无穷)单调减
g(1)=-1<0,因此当x>1时，g(x)<0,即F(x)单调减
于是F(x)<F(1)=-1/6<0
即1／2 x²＋㏑x-2／3 x³<0
因此 当x＞1时，1／2 x²＋㏑x＜2／3 x³