Question

高分求高手！初中二次函数

二次函数y=-（1/4）x²+（3/2）x-5/4与x轴交于A,B两点。求抛物线上的点P，使△PAB为等腰三角形。
一般水平勿进！

Answer 1

解：经化简得y=-1/4（x-3)^2+1,作图得

则A（1,0），B（5,0）

显而易见，根据等腰三角形的底边不同可以有三种情况

情况一、AB为底，P1为顶点，设P1(x1,y1)

P1在抛物线上，所以y1=-1/4（x1-3)^2+1

P为顶点，所以PA=PB，PA=根号下[(x1-1)^2+y1^2],PB=根号下[(x1-5)^2+y1^2]

即根号下[(x1-1)^2+y1^2=根号下[(x1-5)^2+y1^2]

从而解方程组得x1=3，y1=1，所以P1（3,1）

情况二，AP为底，设P2（x2,y2)

P2在抛物线上，所以y2=-1/4（x2-3)^2+1

B为顶点，所以BA=BP

AB=4，所以BP=根号下[(x2-5)^2+y2^2]=4

解方程组即可

这里面会涉及一元四次方程求解

以下为一元四次方程的求解公式：

方程为 x^4+b·x^3+c·x^2+d·x+e=0

如果设

P=bd-4e-c/3

Q=bcd/27+﹙104/27﹚·ce-(2/27)·c-be-d

D=-4·P-27·Q

u=√(-13.5·Q+3/2·√(-3D))

v=√(-13.5·Q－3/2·√(-3D))

y=(u+v-3)/3

N=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b－c+y－(2y+4)·√﹛﹙1/4﹚·y－e﹜－b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜

M=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b－c+y－(2y－4)·√﹛﹙1/4﹚·y－e﹜+b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜

则

X1=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b－c+y﹚－﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N

X2=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b－c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N

X3=－﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b－c+y﹚－﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M

X4=－﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b－c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M

情况三，BP为底，A为顶点，做法同上一种情况

计算有点复杂，要计算细心呢~~可能有简单点的方法，不过我现在木有想到，嘿嘿

Answer 2

解：因为抛物线与x轴相交于点A ,B
]所以方程的两个根的点A, B的横坐标
即：-(1/4)x^2+(3/2)x-5/4=0
解得：x1=1 x2=5
所以点A(1， 0) B (5， 0)
设点p (x , y)，因为三角形PAB为等腰三角形
(1) 当PA=PB时，点P 的横坐标=1+[（5-1）/2]=3
把x=3代人解析式并解得：y=1
所以点P (3， 1）
（2）当PA=AB时，点P(0.5 ,-3倍根号7/2)
(3)当PB=AB时，点P(5.5 ,-3倍根号7/20
所以点P (3， 1) (0.5 , -3倍根号7/2) (5.5 , -3倍根号7/2）

追问

（2）当PA=AB时，点P(0.5 ,-3倍根号7/2)
(3)当PB=AB时，点P(5.5 ,-3倍根号7/20
这2个P点根本不在抛物线上啊！！！

追答

对不起，忘讨论了，因为（2），（3）这两个点不在抛物线上，所以这两个点应舍去，所以点P(3 ,1)

Answer 3

不知道为什么这么难的题目会是初二的，已经毕业好久了，初二学到那些知识已经忘记了。但是，这道题可以通过盛金公式求解，得到准确值，通过这个值去看，个人认为这道题是无法取巧解答的。
下面介绍一下解题方法：
点（3，1）就不说了，大家都知道的。
另外两点很明显的纵坐标相同，在抛物线上是对称的，所以我们只要考虑其中一点，并且求出纵坐标y即可。
假设我们考虑右边的一点，设坐标为（x，y），他满足抛物线：y=-（1/4）x²+（3/2）x-5/4，化简为：
4-4y=（x-3）²................................（1）
该点到（5，0）距离=AB=4，则（5-x）²+y²=4².，即
y² =4² -(5-x)²..................................（2）
由于点（1，0）距离点（5，0）距离为4，且在抛物线上，所以（1，0）也是方程的解，因为y是0，所以（1），（2）联立时留y消去x，可得
y（y³-8y²+128）=0.........................（3）
很明显我们只要解出
y³-8y²+128=0.................................（4）
现实中，拿到这样的方程，我们一般用迭代法去解，就跟电视上猜价钱一样，不停的缩小范围，不断带入不同的y值，令左边无限接近0，那么可以得到无限精确的解（其实计算器或者电脑就是这样算的）。
怀疑y=-3是解，则 左边=29
怀疑y=-4是解，则 左边=-64
说明真正的y比-3小，比-4大，
怀疑y=-3.5是解，则 左边=-12.875
应该再大点，
怀疑y=-3.3是解，则 左边=4.943
应该再小点，........
如此循环，最终可以确定y=-3.35715 可以令左边=-0.0026，
如此，可以取y=-3.35715做方程的解，当然现实中，我们取到-3.36也就差不多了。
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下面介绍盛金公式解法：
公式具体请参见百度百科http://baike.baidu.com/view/606391.htm
按盛金公式解 y³-8y²+128=0.......则，a=1，b=-8，c=0，d=128
A=b²-3ac=64
B=bc-9ad=-1152
C=c²-3bd=3072
△=B²-4AC=540672＞0，方程有一个实根，两个共轭虚根
Y1，2=Ab+3a（-B±√（△））/2=1216±192√（33）
方程的实根y1={-b-[（Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)]}/3a
={8-[（1216+192√33)^(1/3）+(1216-192√33)^(1/3)]}/3
这个就是标准的，毫无误差的答案，计算结果与前面相同。
从这个结果来看，个人认为，本题无法靠取巧手法去解，除非解的结果是整数。

Answer 4

满足题意的P点只能是抛物线的顶点，其顶点坐标是（3，1）

追问

肯定还有2个点啊，PA=AB的情形没有考虑。再想想

Answer 5

三种可能

（1）PA=PB
求出两点为（1,0） （5,0）线段AB中垂线与抛物线交点即为一个P点，解得P（3,1）
（2）PA=AB
以（1,0）为原点，4为半径画圆，所以圆方程为(x-1)^2+y^2=16
联立圆方程与抛物线方程，解得交点坐标为（-1.17，-3.36）
（我用几何画板计算的，具体过程你自己计下吧）
（3）PB=AB
以（5,0）为原点，4为半径画圆，所以圆方程为x^2+（y-5）^2=16
联立圆方程与抛物线方程，解得交点坐标为（7.17，-3.36）
（4）估计我这个不能被你采纳啦。那就当验算吧。

追问

辛苦了！可惜不能得出具体值。