Question

设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)\2，证明{an}是等差数列

1. 设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)\2，证明{an}是等差数列2.已知函数f(x)=根号x2-25(x<=-5),若a1=1,an=-f^-1(an-1)，用数学归纳法证明，an=根号25n-24

Answer 1

①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列