已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+c对任意的x∈[-1,1],f(x)≤1恒成立恒成立求出所有满足条件的a,b,c

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东西南北富贵宾c
2013-05-15
知道答主
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解:当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1,故|f(-x)|≤1,从而|4x³+bx|=1/2|f(x)-f(-x)|≤1/2(|f(x)|+|f(-x)|)≤1.设g(x)=4x³+bx,则当x∈[-1,1]时|g(x)|≤1.由|g(1)|≤1得-5≤b≤-3;由|g(1/2)|≤1得-3≤b≤1.故b=-3.
由不等式|f(1)|≤1,|f(-1)≥-1|,可得a+c≤0,a+c≥0,所以a+c=0.
故a+b+c=-3.
牛牛独孤求败
2013-05-12 · TA获得超过1.1万个赞
知道大有可为答主
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f(x)≤1恒成立,可以等价与f(x),在x∈[-1,1]区间内是增函数,且f(1)≤1;
f‘(x)=12x^2+2ax+b>=0,即b>=a^2/12时,f(x)是增函数,
f(1)=4+a+b+c<=1,即a+b+c<=-3;
所以,使f(x)≤1恒成立恒成立所有满足条件的a,b,c的集合为:
{a、b、c丨a+b+c<=-3,且b>=a^2/12}。
追问
不好意思,我可能是打错了。那个是|f(x)|<=1
追答
f(0)=c——》-1<=c<=1;
f(1)=4+a+b+c——》-1<=4+a+b+c<=1,
f(-1)=-4+a-b+c——》-1<=-4+a-b+c<=1,
——》-5<=b<=-3,-1<=a+c<=1;
——》-2<=a<=2;
f‘(x)=12x^2+2ax+b=0,解得:x1,2=[-a+-v(a^2-12b)]/12,∈[-5/6,5/6],即函数f(x)在x∈[-1,1]区间内有两个极值点,将x1,2=[-a+-v(a^2-12b)]/12代入,得f‘(x1)和f‘(x2),令其值∈[-1,1],解得a,b,c的取值范围再与上述范围相交,即为所求满足条件的a,b,c。
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