Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC = 3∠C，∠1 =∠2，BE⊥AE．求证：AC – AB = 2BE．

Answer 1

解∠BAC=180-（∠ABC+∠C）=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1 =∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

Answer 2

作辅助线，延长BE与AC相交于D。
AE是三角形ABD的中垂线，角ABE = 角ADE，角ABE+角EBC = 3×角C = 角ADE+角EBC = 2×角EBC + 角C
有上述等式可以推出 角C=角EBC，这里就可以得出很关键的结论--DBC是等腰三角形，就知道了边DB=2×BE=DC,
而边AC=AD+DC=AB+DC,因此就的除了AC=AB+2BE.
证明完毕。