Question

高中导数选择题：已知f（x）的导函数为f ’（x），且2f（x）+xf '(x)>x^2 ,则下面在R上恒成立的是

已知f（x）的导函数为f ’（x），且2f（x）+xf '(x)>x^2 ,则下面在R上恒成立的是
A.f(x)>0 B .f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)x

Answer 1

解：因为 2f(x)+xf′(x)＞x^2 …………①，下面予以讨论：
（1）x= 0时，代入①得： f(0) ＞ 0
（2）x＞0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＞ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＞ x^3＞0, 所以函数y= x^2f(x）是R+上的增函数，而x＞0，
故： x^2f(x) ＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以 f(x) ＞ 0
（3）x＜0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＜ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＜x^3＜ 0, 所以函数y= x^2f(x）是R-上的增函数，又x＜ 0,
故： x^2f(x)＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以也有 f(x) ＞0
综上可知，x∈R 时，总有 f(x)＞0 所以选 A.
显然 f(x)=x^2 +a（a＞0）时 已知条件 2f(x)+xf′(x)＞x^2 成立，但
f(x)＞x 未必成立，所以C也是错的，故选 A

Answer 2

由f(0) ＞ 0 即排除选项B和D，
显然 f(x)=x^2 +a（a＞0）时 已知条件 2f(x)+xf′(x)＞x^2 成立，但
f(x)＞x 未必成立，所以C也是错的，故选 A