Question

(内蒙古乌海)如图,已知抛物线的顶点坐标为m(1,4),且经过点N(2,3)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴

如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P为圆 心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（4）设直线y=kx+2与抛物线交于Q，R两点，若原点o在以QR为直径的圆外，请写出k的值和计算过程。

Answer 1

答：
（1）设抛物线方程为y=a(x-b)^2+c
顶点坐标M（b，明弯c）=（1,4）
所以：b=1，c=4，抛物线方程为：y=a(x-1)^2+4
把点N（2,3）代入抛物线方程得：a+4=3，扮清a=-1
所以抛物线方程为：y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3

（3）抛物线于坐标轴的交点A(-1，0)，B（3,0），C（0,3），对称轴x=1，点E（1,0）
直线CD即直线CM为：y=x+3，即：x-y+3=0，所以点D（-3,0）。
设点P为(1,p)，显然，依据题意知道：点P到直线CM的距离等于AP=BP
所以：|1-p+3|/√2=√[(1-3)^2+(p-0)^2]
整理得：p^2+8p-8=0
解得：p=-8+2√2或者p=-8-2√2
故点P坐标为（1，-8+2√2）或者（1，-8-2√2）

（4）QR直线y=kx+2即kx-y+2=0代入抛物厅槐前线方程整理得：x^2+(k-2)x-1=0
△=(k-2)^2+4>0恒成立，故直线QR与抛物线恒有两个不同的交点。
设Q（x1，kx1+2），R（x2，kx2+2）
QR^2=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=(1+k^2)[(2-k)^2-4*(-1)]=(1+k^2)(k^2-4k+8)
点O（0,0）在直径QR的圆外，说明点O到QR中点：
W（x1/2+x2/2，kx1/2+kx2/2+2)=[1-k/2，(-k^2+2k+4)/2]的距离要大于该圆的半径：
OW>QR/2>0，两边平方得：4*OW^2>QR^2
4[(1-k/2)^2+(-k^2+2k+4)^2/4] > (1+k^2)(k^2-4k+8)
整理得：3k^2-4k-5<0
所以：(2-√19)/3<k<(2+√19)/3