Question

观察下列等式:1*2=1/3(1*2*3-0*1*2)，2*3=1/3*（2*3*4-1*2*3），3*4=1/3*（3*4*5-2*3*4）·····

计算：3*（1*2+2*3+3*4+...+n（n+1））=？
要解答过程。谢谢！！

Answer 1

1*2=1/3(1*2*3-0*1*2)........3*1*2=1*2*3-0*1*2
2*3=1/3*（2*3*4-1*2*3）..........3*2*3=2*3*4-1*2*3
3*4=1/3*（3*4*5-2*3*4）·····3*3*4=3*4*5-2*3*4
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n*（n+1）=1/3[(n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)].........3*n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴3*（1*2+2*3+3*4+...+n（n+1））
=3*1*2+3*2*3+3*3*4+............+3*n(n+1)
=1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+................+n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)
=-0*1*2+n(n+1)(n+2).......【中间都正负抵消了，只剩下两项】
=n（n+1）（n+2）

Answer 2

3*（1*2+2*3+3*4+...+n（n+1））=3*{1/3(1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+...+(n-1)*n*(n+1)-(n-2)*(n-1)*n+n*(n+1)(n+2)-(n-1)*n*(n+1)]}=3*[1/3*n*(n+1)*(n+2)]=n(n+1)(n+2)