Question

已知直线x+2y-4=0与y^2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABC面积最大

Answer 1

AB是定值
所以要P到AB最远
所以做AB平行线
和抛物线相切即可

x+2y-4=0斜率-1/2小于0
所以显然切点在x轴下方
y=-2√x
y'=-2*1/(2√x)
斜率-1/2则y'=-1/2
x=4
y=-4
所以P(4,-4)
http://zhidao.baidu.com/question/131013305.html

Answer 2

解：联立x+2y-4=0,y^2=4x形成方程组，解之得：y=-4-4√2，y=-4+4√2
x=4(3-2√2),x=4(3+2√2)
∴A、B坐标分别为（4（3+2√2），-4-4√2）、（4（3-2√2），-4+4√2）
IABI=√[4(3+2√2)-4(3-2√2)]^2+[-4-4√2-(-4+4√2)]^2
=8√10
设C点纵坐标为n,则横坐标为n^2/4
C点到直线AB的距离H为：H=I（n^2/4)+2n-4I/√(1+2^2)
=(1/20)In^2+8n-16I√5
=(1/20)I(n+4)^2-32I√5
S△ABC=IABI*H/2
=8√10*(1/20)I(n+4)^2-32I√5/2
=I(n+4)^2-32I√2
∵(n+4)^2≥0，且-4-4√2<n<-4+4√2
∴当n=-4时，I(n+4)^2-32I最大且为32
∴S△ABC=32√2
此时C点坐标为（4，-4）
∴C点为（4,-4）时△ABC的面积最大且为32√2.

Answer 3

AB是定值
所以要P到AB最远
所以做AB平行线
和抛物线相切即可

x+2y-4=0斜率-1/2小于0
所以显然切点在x轴下方
y=-2√x
y'=-2*1/(2√x)
斜率-1/2则y'=-1/2
x=4
y=-4
所以P(4,-4)