Question

初三数学。已知，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0,2），点P（m,n）是抛物线y=1/4 x^2+1上的动点

初三数学。已知，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0,2），点P（m,n）是抛物线y=1/4 x^2+1上的动点
已知，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0,2），点P（m,n）是抛物线y=1/4 x^2+1上的动点。（1）如图1，过动点P作PB⊥x轴于B，连接PA。易知PA=PB。（2）请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C的坐标为（2,5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？若存在，求P坐标；若不存在，说明理由。②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求OP直线解析式。

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Answer 1

1： PA=（m^2+(n-2)^2）1/2，PB =|n|
由P在曲线上，将n=1/4m^2+1带入PA，得到PA=|n|=PB
2：（1）根据两点之间直线最短，PB+PC最小值出现在P点为BC直线同抛物线的交点。而由1的结论得知，PA+PC有最小点，此时P为同y轴平行的BC同抛物线交点,BC方程式为x=2，令n=2=1/4m^2+1，求得m=2，n=2
（2）参照你给出的图片，2DB=PC，d=1/2m，而OP方程为y=n/m*x，D点(1/2m,1/16m^2+1)带入方程，解之，等式：1/4*(0.5m)^2=（1/4m^2+1）/m*0.5m，得到m^2=8

Answer 2

1）存在。直接过C点做X轴的垂线，垂线与抛物线的交点就是所要求的P。
2）你自己已经做了垂直线，根据相似定理三角形ODB相似于OPC，AP=2AD，可知D（x，y），P可表示为（2x，2y），代于上式就可求解了。

Answer 3

（2）因为y=1/4x∧2+1 当x=1时 y=1 做关于抛物线顶点与A点对称的点A1 设顶点为E 因为E（0.1）A（0.2） 所以AE=1 所以A1E=1 所以A与O重合 连接OC交抛物线于点P 则OC最短 设Y=KX 因为C（2.5） 所以y=5/2x 当y相同时 5/2x=1/4x∧2+1 x=5-√21 所以P（5-√21.（25-5√21）/2）