Question

已知f(x)=lnx-ax^2-bx (1)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点（2）若f（x）的图像与x轴交于A（x1，,0

），B（x2,0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0,0），求证：f ’（x0）＜0

Answer 1

突然看到，还有老早前的求助没解决：
(1)
当a=1,b=-1时
f(x)=lnx-x^2+x
f'(x)=1/x-2x+1
=(-2x^2+x+1)/x
=-(x-1)(2x+1)/x
当0<x<1时，f'(x)>0,f(x)递增
当x>1时，f'(x)<0,f(x)递减，
∴f(x)极大值为f(1)=0
∴函数f(x)只有一个零点1.

(2)

f(x)=lnx-ax^2-bx
f'(x)=1/x-2ax-b
=(2ax²-bx+1)/x
a<0时，
g(x)=2ax²-bx+1
F(x)有两个零点x1，x2,不妨设x1-x2<0

那么lnx1-ax²1-bx1=0
lnx2-ax²2-bx2=0
相减:
ln(x1/x2)-a(x1+x2)(x1-x2)-b(x1-x2)=0
ln(x1/x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b)
∴a(x1+x2)+b=ln(x1/x2)/(x1-x2)
x0=(x1+x2)/2
∴f'(x0)
=f'[(x1+x2)/2]
=2/(x1+x2)-a(x1+x2)-b
=2/(x1+x2)-ln(x1/x2)/(x1-x2)

下面证明2/(x1+x2)<ln(x2/x1)/(x2-x1)
即2(x2-x1)/(x2+x1)<ln(x2/x1)
即2(x2/x1-1)/(x2/x1+1)<ln(x2/x1)
令x2/x1=u,
即正2(u-1)/(u+1)-lnu<0)
令g(u)=2(u-1)/(u+1)-lnu (u>1)
g'(u)=4/(u+1)²-1/u
=[4u-(u+1)²]/[u(u+1)²]
=-(u-1)²/[u(u+1)²]<0
∴g(u)为减函数
那么g(u)<g(1)=0
∴2/(x1+x2)<ln(x2/x1)/(x2-x1)成立
即f'(x0)<0成立