Question

定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x属于[-1,0]时f(x)=1/4^x-1/2^x (

定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x属于[-1,0]时f(x)=1/4^x-1/2^x (1)f(x)在[0,1]上的解析式 (2)求f(x)在[0,,1]上的最大值

Answer 1

答：
（1）f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)
0<=x<=1时，-1<=-x<=0，f(-x)=1/4^(-x)-1/2^(-x)=4^x-2^x=f(x)
所以：x∈[0,1]时，f(x)=4^x-2^x

（2）x∈[0,1]时，1<=2^x<=2，f(x)=4^x-2^x=(2^x)^2-2^x=（2^x-1/2)^2-1/4
令t=2^x，1<=1<=2，f(t)=(t-1/2)^2-1/4.
抛物线f(t)的对称轴为1/2，开口向上，所以在[1,2]上是增函数。
所以：当t=2^x=2即x=1时，f(x)最大值为f(1)=4-2=2还有1.显然是：f(x)=4^X-a* 2^x，
这是因为当x属于【0,1】时，
-x属于[-1,0],因此f（x）=f(-x)=1/(4^（-X）)-a/(2^（-x）)=4^X-a*2^x.
2、f(x)=4^X-a*2^x=(2^x)^2-a*2^x=t^2-at=（t-a/2）^2-1/4*a^2,
令t=2^x（t属于【1,2】）。
为方便，令g（t）=f（x）=（t-a/2）^2-1/4*a^2，
t属于【1,2】。
当对称轴a/2<=1,即a<=2时，fMAX=g(2)=4-2a；
当a/2>=2时，即a>=4时，fMAX=g(1)=1-a；
当1<=a/2<=2时,分两种情况，
当1<=a/2<=3/2时(3/2时1和2的中点)，即2<=a<=3时，fMAX=g(2)=4-2a；
当3/2<=a/2<=2时(3/2时1和2的中点)，即3<=a<=4时，fMAX=g(1)=1-a.
综上，f的最大值为：
4-2a， 当a<=3时；
1-a，当a>=3时。

Answer 2

答：
（1）f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)
0<=x<=1时，-1<=-x<=0，f(-x)=1/4^(-x)-1/2^(-x)=4^x-2^x=f(x)
所以：x∈[0,1]时，f(x)=4^x-2^x

（2）x∈[0,1]时，1<=2^x<=2，f(x)=4^x-2^x=(2^x)^2-2^x=（2^x-1/2)^2-1/4
令t=2^x，1<=1<=2，f(t)=(t-1/2)^2-1/4.
抛物线f(t)的对称轴为1/2，开口向上，所以在[1,2]上是增函数。
所以：当t=2^x=2即x=1时，f(x)最大值为f(1)=4-2=2

Answer 3

1.显然是：f(x)=4^X-a* 2^x，
这是因为当x属于【0,1】时，
-x属于[-1,0],因此f（x）=f(-x)=1/(4^（-X）)-a/(2^（-x）)=4^X-a*2^x.
2、f(x)=4^X-a*2^x=(2^x)^2-a*2^x=t^2-at=（t-a/2）^2-1/4*a^2,
令t=2^x（t属于【1,2】）。
为方便，令g（t）=f（x）=（t-a/2）^2-1/4*a^2，
t属于【1,2】。
当对称轴a/2<=1,即a<=2时，fMAX=g(2)=4-2a；
当a/2>=2时，即a>=4时，fMAX=g(1)=1-a；
当1<=a/2<=2时,分两种情况，
当1<=a/2<=3/2时(3/2时1和2的中点)，即2<=a<=3时，fMAX=g(2)=4-2a；
当3/2<=a/2<=2时(3/2时1和2的中点)，即3<=a<=4时，fMAX=g(1)=1-a.
综上，f的最大值为：
4-2a， 当a<=3时；
1-a，当a>=3时。