Question

设半径为R 的半球形水池充满了水

设半径为R 的半球形水池充满了水。现在把水从池中抽出，当抽水所做的功为将水全部抽完所做的功德一半时，水面的高度下降了多少？

Answer 1

答案是：√(1-√2÷2)R
水面下降了h时所做的功设为F(h),
建立坐标系，球心为原点O,竖直向下为x轴正向。利用高等数学中“定积分的应用”中的“元素法”可得：

Answer 2

其实是求势能降低一半，用“微元法”
水深为h时水面半径是 sqrt(R^2-(R-h)^2)， 一微层水的体积就是 pi*(2Rh-h^2)*dh，
势能就是 pg*pi*(2Rh-h^2)h*dh
从0累加到h，总能量是（常数不写了……） 2R*h^3/3 - h^4/4
开始时 h = R, 能量是 5/12 *R^4，一半时解得 h = 0.758R
即下降了 0.242R
(不排除算错的可能性……)