Question

高三数学，已知函数f(x)=ax^2-lnx, 1,讨论函数的单调性, 2,当a=-1/8,0<t<2时,证明曲线y=f(x)与其在点P(...

高三数学，已知函数f(x)=ax^2-lnx,
1,讨论函数的单调性,
2,当a=-1/8,0<t<2时,证明曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t)处的 切线至少有两个不同的公共点

Answer 1

高三数学，已知函数f(x)=ax^2-lnx,
1,讨论函数的单调性,
2,当a=-1/8,0<t<2时,证明曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t)处的切线至少有两个不同的公共点
(1)解析：∵函数f(x)=ax^2-lnx
当a=0时，f(x)=-lnx，显然，在定义域内单调减；
当a<0时，f’(x)=2ax-1/x<0，，在定义域内单调减；
当a>0时，令f’(x)=2ax-1/x=0==>x=1/√(2a)
f’’(x)=2a+1/x^2>0，f(x)在1/√(2a)处取极小值，
0<x<1/√(2a)时，f(x)单调减；x>=1/√(2a)时，f(x)单调增；
(2)证明：∵函数f(x)=-1/8x^2-lnx，f’(x)=-1/4x-1/x
设t∈(0,2), f(t)=-1/8t^2-lnt
∴在点P(t,f(t)处的切线方程为y=-(1/4t+1/t)(x-t)-(1/8t^2+lnt)=-(1/4t+1/t)x+1/8t^2-lnt+1
令g(x)=-1/8x^2-lnx-[-(1/4t+1/t)x+1/8t^2-lnt+1]
=-1/8x^2+(1/4t+1/t)x-lnx-1/8t^2+lnt-1
g’(x)=-1/4x+(1/4t+1/t)-1/x==>g’’(x)=-1/4+1/x^2
令g’’(x)=-1/4+1/x^2=0==x1=2，x2=-2(舍)
∴x=2是函数g(x)的拐点
当0<x<2时，g’’(x)<0，g(x)下凸；当x>2时，g’’(x)>0，g(x)上凸；
即函数g(x)图像呈S形单调减，点(2,g(2))是转折点
∴当t∈(0,2)，在点P(t,f(t)处的切线在离原点远处，必与曲线y=f(x)存在第二个交点
∴曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t)处的切线至少有两个不同的公共点。

Answer 2

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