Question

y=sinx+cosx+sinxcosx x∈[0,π]的值域

Answer 1

令t=sinx+cosx，则：
因为：
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，
因此：
t∈[1，√2]
又因为：
(sinx+cosx)²=t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
则：
y=t+(t²-1)/2
=(1/2)(t+1)²-1
因此：当t=-1时，y有最小值：-1，但t取不到，因此：根据二次函数单调性，t>-1时为增函数，于是：
当t=1时有最小值：(1/2)(1+1)²-1=1
当t=√2时，y有最大值：(1/2)(√2+1)²-1=（1+2√2）/2

因此：
该函数的值域为：[1，（1+2√2）/2]

Answer 2

f(x)=sinx+cosx+sinxcosx x∈[0，π]的值域
解：令f '(x)=cosx-sinx+cos²x-sin²x=(cosx-sinx)(1+cosx+sinx)=0
由cosx-sinx=0，即tanx=1，得驻点x₁=π/4(极大点);
由1+cosx+sinx=1+(√2)sin(x+π/4)=0，sin(x+π/4)=-√2/2，x+π/4=π+π/4，
于是得驻点x₂=π(极小点）；
maxf(x)=f(π/4)=(√2/2)+(√2/2)+(√2/2)(√2/2)=√2+(1/2)=(1+2√2)/2
minf(x)=f(π)=0-1+0=-1；
故在区间[0，π]上f(x)的值域为[-1，(1+2√2)/2].

Answer 3